Bất đẳng thức luyện thi Đại học (tiếp)


Đề bài : Cho $a, b ,c>0$ thỏa mãn $a\le b\le c$ và  $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$A=\frac{5}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+1)^2}+\frac{3}{(c+1)^2}$$

Lời giải : Trước hết ta phát biểu và chứng minh bổ đề sau (thực chất bổ đề là bất đẳng thức $Chebyshev$).
$\blacksquare$ Với hai dãy số thực đơn điệu tăng $a_1, a_2,.., a_n$ và $b_1, b_2,..., b_n$ ta luôn có :
$$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \geq \frac{1}{n}\left ( a_1+a_2+...+a_n \right )\left ( b_1+b_2+...+b_n \right )$$
$\blacksquare$ Chứng minh : Biến đổi tương đương, bất đẳng thức được viết lại thành :
$$n\left ( a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \right )-\left ( a_1+a_2+...+a_n \right )\left ( b_1+b_2+...+b_n \right )\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum_{i,j=1}^{n}\left ( a_i-a_j \right )\left ( b_i-b_j \right )\geq 0$$
Vì hai dãy đã cho đơn điệu nên $\left ( a_i-a_j \right )\left ( b_i-b_j \right )\geq 0$. Vậy bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán, từ giả thiết suy ra $\frac{1}{\left ( a+1 \right )^2} \geq \frac{1}{\left ( b+1 \right )^2} \geq \frac{1}{\left ( c+1 \right )^2}$.
Như vậy ta được hai bộ đơn điệu là $\left ( 5;4;3 \right )$ và $\left ( \frac{1}{\left ( a+1 \right )^2};\frac{1}{\left ( b+1 \right )^2};\frac{1}{\left ( c+1 \right )^2} \right )$
Áp dụng bổ đề với $n=3$ :
$$A \geq \frac{1}{3}(5+4+3)\left ( \frac{1}{\left ( a+1 \right )^2}+\frac{1}{\left ( b+1 \right )^2}+\frac{1}{\left ( c+1 \right )^2} \right )$$
$$\Leftrightarrow  A \geq 4 \left ( \frac{1}{\left ( a+1 \right )^2}+\frac{1}{\left ( b+1 \right )^2}+\frac{1}{\left ( c+1 \right )^2} \right )$$
Từ $abc=1$ và $a,b,c >0$ suy ra tồn tại các số thực dương $x,y,z$ sao cho $a=\frac{xy}{z^2}$, $b=\frac{yz}{x^2}$, $c=\frac{zx}{y^2}$
Thay vào trên :
$$A \geq 4\left [ \frac{x^4}{\left ( yz+x^2 \right )^2}+\frac{y^4}{\left ( zx+y^2 \right )^2} +\frac{z^4}{\left ( xy+z^2 \right )^2}  \right ]$$
Áp dụng bất đẳng thức $Bunhiacopxki$ dễ dàng suy ra được :
$$A \geq \frac{4\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$$
Sử dụng bất đẳng thức cơ bản :$xy+yz+zx \leq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ :
$$\frac{4\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2} \geq \frac{4\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2+\frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{3}}=\frac{3}{4}$$
$$\Rightarrow A \geq 4.\frac{3}{4}=3$$
$\blacksquare$ Kết luận : $A_{\min}=3$  :-bd